Figurirte Zahlen

Figurirte Zahlen nennt man Glieder von Zahlenreihen, welche arithmetische Progressionen verschiedener Ordnungen nach einem bestimmten Gesetz bilden u. deren erstes Glied die Einheit ist. Geht man von der einfachen Zahlenreihe 1,2,3,4 etc. aus, so erhält man durch stufenweise Addition von 2, sodann 3,4 etc. auf einander folgenden Gliedern derselben die Reihe

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45 ...

als die Reihe der einfachsten figurirten Zahlen, auch Triangularzahlen genannt, weil sie sich durch gleichweit von einander entfernte Punkte auf der Fläche eines gleichseitigen Dreiecks darstellen lassen. Auf gleiche Weise erhält man aus dieser Reihe die folgende:

1, 4, 10, 20, 35, 56 ...

welche Zahlen Pyramidalzahlen heißen, und sofort die Reihen:

1, 5, 15, 35, 70, 126 ...

1, 6, 21, 56, 126, 252 ...

u.s.w., auch zweite, dritte etc. Pyramidalzahlen genannt. – Geht man hingegen von arithmetischen Reihen der ersten Ordnung aus mit den Differenzen 2, 3, 4 etc., also von den Reihen: 1, 3, 5, 7, 9 ...; 1, 4, 7, 10, 13 ...; 1, 5, 9, 13, 17 u.s.w.; so erhält man nach obiger Weise die Reihen:

1, 4, 9, 16, 25 ....

1, 5, 12, 22, 35 ....

1, 6, 15, 28, 45 ....

deren Zahlen Polygonalzahlen genannt werden, die der ersten Reihe Quadrat-, der zweiten Pentagonal- oder Fünfecks-, der dritten Hexagonal- oder Sechseckszahlen etc.